假设有理数为$a$，无理数为$b$，且$b$是一个无理数。我们来证明$a-b$也是一个无理数。
假设$a-b$是有理数，即存在整数$p$和$q$（$q\neq0$），使得$a-b=\frac{p}{q}$。则$b=a-\frac{p}{q}$。
由于有理数的性质，$a=\frac{m}{n}$（$m,n$为整数，$n\neq0$）。代入上式得到$\frac{m}{n}-\frac{p}{q}=\frac{mq-np}{nq}=b$。
这里$m,n,p,q$均为整数，且$q\neq0$。但是由于$b$是一个无理数，所以矛盾。因此假设不成立，即$a-b$不是一个有理数。
im钱包安卓版v2.13.5：https://zzwtrlyy.com/sjrj/1164.html